∞ Black Infinita do Universo Narrado! ∞
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Seja bem vindo à mais um episódio do programa favorito da família brasileira: Arroz, Feijão e Equações.
De segunda à sexta, às 12h07min, trazemos aqui a solução e o desenvolvimento de um desafio de matemática e/ou física para te deixar mais inteligente!
As questões às vezes serão autorais, outras serão de fontes de provas militares, como ESPCEX, AFA, IME/ITA, ESCOLA NAVAL, EFOMM…algumas outras serão de olimpíadas nacionais e internacionais de física e matemática, outras virão dos livros clássicos de física e matemática: russos, peruanos, armênios, etc.
É o creme de la creme da física e da matemática, meu amigo(a)! O objetivo é sempre tentar trazer uma solução elegante, que engrandeça o vosso intelecto e te sirva de alimento cerebral enquanto você alimenta o corpo.
O programa é pra ser assistido enquanto se almoça, portanto, bon apetit!
Hoje vamos resolver um desafio de MATEMÁTICA sobre TRIGONOMETRIA. Trata-se de uma questão de MATEMÁTICA do ITA (Instituto Tecnológico da Aeronáutica).
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🫡 Esse canal é um braço do Universo Narrado, onde nossa missão é te ajudar se tornar mais inteligente.
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Fiz um pouco diferente, elevando as equações de A e B ao quadrado eu obtive:
I : A² = cos²a + cos²b + 2*cosa*cosb
II: B² = sen²a + sen²b – 2*sena*senb
Fazendo I + II, obtemos:
A² + B² = 2*[1+(cosa*cosb-sena*senb)]
A² + B² = 2*[1+cos(a+b)]
Obtendo a identidade:
III: cos(a+b) = 1 + [(A²+B²)/2]
Fazendo agora I – II:
IV: A² – B² = cos(2a) + cos(2b) + 2*cos(a-b)
Como cosx + cosy = 2*cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2] temos que cos(2a) + cos(2b) = 2*cos(a+b)*cos(a-b)
Substituindo em IV:
A² – B² = 2*cos(a-b)*[1+cos(a+b)]
Aplicando III:
A² – B² = cos(a-b)*(A² + B²)
V: cos(a-b) = (A² – B²)/(A² + B²)
Para achar sen(a-b), eleva-se V ao quadrado e subtrai-se de 1:
sen²(a-b) = 1 – [(A² – B²)/(A² + B²)]²
sen²(a-b) = [(A² + B²)² – (A² – B²)²]/(A² + B²)²
sen²(a-b) = [(A²+B²+A²-B²)(A²+B²-A²+B²)]/(A² + B²)²
sen²(a-b) = 4*A²*B²/(A² + B²)²
sen(a-b) = 2AB/(A² + B²)
Resolvi por prostaferese, dividi os dois produtos que consegui sendo igual A e B, cai na tg do arco metade de alfa – beta, achei o cos alfa – beta a partir da relação de arco metade da tangente, e por fim, através da relação fundamental, cheguei no sen alfa – beta
Fiz da seguinte forma:
Sejam:
A=cos(a)+cos(b)
B=sen(a)-sen(b)
Obtém-se:
(I) AB=cos(a)sen(a)-cos(a)sen(b)+cos(b)sen(a)-cos(b)sen(b)
(II) A²+B²=cos²(a)+2cos(a)cos(b)+cos²(b)+sen²(a)-2sen(a)sen(b)+sen²(b)
Por identidade trigonométrica, tem-se que:
cos(a)sen(a)-cos(b)sen(b)=[sen(2a)-sen(2b)]/2=sen(a-b)cos(a+b)
cos(b)sen(a)-cos(a)sen(b)=sen(a-b)
cos²(a)+cos²(b)+sen²(a)+sen²(b)=1+1=2
2cos(a)cos(b)-2sen(a)sen(b)=2cos(a+b)
Assim, pode-se reescrever (I) e (II) como:
(III) AB=sen(a-b)+sen(a-b)cos(a+b)
(IV) A²+B²=2+2cos(a+b)
De (IV), vem:
cos(a+b)=(A²+B²)/2-1
Substituindo o último resultado em (III), vem:
AB=sen(a-b)+sen(a-b)[(A²+B²)/2-1] –> sen(a-b)=2AB/(A²+B²)
Essa resolução foi sensacional
Engenheiro, a solução foi TOP! Mas, um detalhe: você começou dividindo B por A, sendo que A poderia ser zero. Fiz a solução aqui multiplicando A e B. Daí aparecem sen(alfa-beta) e cos(alfa+beta). O cos(alfa+beta) você pode obter fazendo A^2 + B^2.
Brilhante deducao ❤❤❤❤
A thumb do vídeo está errada! 🤪